第二百三十九章 无人鼓掌
“接下来，我要讲的，便是我从希门主、从歌庭派的工作当中学习得的最重要的概念！形式化。” 王崎这话一出口，算君的眉头就多出一道沟壑。 而在他身后，更多的少黎派算家几乎出离的愤怒了。 算主希柏澈一生当中有无数的成就。但是，他在算学本质的看法之上却广为人诟病，绝大多数算家都难以接受。 在算主看来，算学的本质，就是“形式”。单独的符号不存在任何意义。那些符号排列的“形式”才是算学。 这就好比说“1 1=2”这个最初公式里，“1”、“ ”、“=”、“2”这几个符号都是无意义的，而只有那个完整等式在具有数学意义。 而另一边，歌庭派的诸多算家也心情复杂。他们脸上露出了诡谲的表情，夹杂着迷惘、愤怒。 “形式”的理念包含了一致性、完备性、可判定性。可谓是算主希柏澈、一生的理想喻最大的追求。 而否定这份理想的，正是王崎本人。 王崎使用算主的思路，否决了算主的追求，也否定了歌庭派数十年的努力。 但是，这种种复杂的心绪并没有影响到王崎。 王崎明白，现在他代表的，不是他自己，而是“正确”。 自我指涉并不是一个数学的描述——它确实是属于逻辑，但是否属于数学还有待商榷，并非是所有的数学家都承认这一点。地球也好，神州也好，都有这样的迹象。 “这一陈述无法证明”，并非狭义上的数学陈述。 哥德尔证明方法的第二步，就是将这个非数学的陈述或者说准数学的陈述，转化为一个数学的陈述。 地球将之称为——“哥德尔数化”。 ——或许在神州，它会叫做“王崎数化”吧？ “一般人在理解这不完备的时候，很容易就陷入一重重自我参照的迷雾之中。难以自拔。我猜想，这大约是与康前辈的对角线证法、无穷基数违反我等天生直觉有关。也正是这一重原因，所以千百年来，我们的前辈们才会对这一重道理视而不见。” “而非要解开这一重迷雾。就必须使用这种形式化的方法。” 王崎双手放出金光，幻化出重重光幕，无数算符在上面飞舞，排列，罗列着一个伟大的证明。 哥德尔证明不完备定理的第二部分。也是其最伟大的部分，就在这里。 “任何公理系统，所运用的算符，所能够存在的公理，都是有限的。因此，这些公理、这些算符所能够罗列出的陈述，也必定是可数的——无穷可数、道元数零、自然数的个数。就是这么描述的。” “而这些有可能的陈述，其长度也必然是可数的。而既然还在可数无穷的范畴之内，我们就可以用自然数给它编号。每一个编号都是独一无二的。” “然后，我们就可以建立一个集合‘中天’。这个集合‘中天’，便是包括了所有有可能陈述的‘编号’。一个公理系统之内，所有有可能的陈述，都必定在这个编号之内。” …… 讲道进行到这里的时候，已经开始脱离绝大多数人所能够理解的范畴了。什么“可数无穷”，什么“基数”、“序数”。这些都已经超过他们的理解范畴了。 就连显身现场听王崎讲道的那些逍遥修士，也有几个露出了迷惘之色。 这个少年所说的每一步，他们都可以理解。但是，这些东西凑到一起之后，究竟有什么数学意义？ 完全不明白！ 更多借助万仙幻境收看这“直播”的今法修。则纷纷头昏脑涨。这看似简单的证明，似乎包含着无穷的魔力，仿佛要将他们的思维拖向一个深渊。 冯落衣不得不叹了口气，以“字幕”的方式。向所有通过直播观看的修士进行解释。 这个数化的过程，说白了就是“映射”。 把算术系统中的符号、表达式和表达式的序列都映射为数——通过引进“哥德尔数”而实现了对象的数化手续。这样处理的结果，对于数理逻辑和其他有关分支来说，在研究方法上就提供了一种数字化工具，能够方便地把一些讨论对象转换为自然数或自然数的函数，能够用自然数的理论来讨论有关问题。 将一个准数学的陈述转变为一个具有数学意义的陈述。 这就是这个“数化”的意义所在。 而当这个证明进入第二阶段的后半段时。歌庭派阵中，艾克蛮轻轻叹息：“原始递归式啊……” 他的表情当中包含着十足的惋惜与悔恨。 ——我也研究过这个领域啊……若是我当年能够再深入一点，会不会就能够避免了今日的劫难？ 有几个歌庭派的修士立刻发来私聊：“艾兄，你对这个领域有研究？能不能在这一步绊王崎一绊？” 艾克蛮苦笑摇头。王崎这一步并没有做错。他能够将对的说成是错的吗？ 同时，他也下定决心，回去就仔细研究这个往日并不被重视的领域， 当然，在场的人并不知道，这个数化的证明还有超过其本身的意义。 它同时也是递归论的源泉。 而递归论，正是现代逻辑学的最重要分支之一。 到了这个地步，王崎的证明也进入了尾声。 王崎最后一次挥动双手。算符排列成了不完备定理的证明。 “这就是全部的过程。” 全场寂静无声。 算学在这一刻走向了死亡。 “一致性与完备性不可兼得，算学无矛盾而不完备……”收看直播的许多万法门弟子，几乎哭了出来。 王崎讲完不完备定理的证明之后，便到讲坛的边缘静坐片刻。今日的讲道，便是分成了四个部分。前一个部分，讲的乃是不完备定理，接下来的一个部分，讲的则是不可判定定理。 然后，才是提问与总结的时间。 那些逍遥修士，也需要一定的时间来吸收、理解这些东西。 他闭目养神，似乎完全感觉不到周围那些巅顶大修加之于他身上的恶意。 就算举目皆敌又何妨？这里是求道者的领域，而非斗法的场合。任你说破大天，也不可能将正误逆转。 短暂的休息之后，王崎重新走回讲坛的中央。因为短暂修整而出现的窃窃私语声也渐渐消失。无数修士的注意力就集中到了王崎身上。 如同一条又一条的毒蛇，在寻找猎物的要害，力图一击毙命。 王崎继续开讲道：“在讲完了‘不全’之后，我们再来说一说‘无非’——也就是不可判定定理。” “不可判定定理的前一部分和和不完备定理一样，都是‘自我指涉’，这里我便不再赘述。我下面就直接进入不可判定定理证明的第二个部分。” “首先，在这里，我需得感谢图灵真人，感谢他在这个问题上对我的帮助，也感谢他提供的一种等价证明法。” “首先，我要介绍的第一种证明法，是我自己提出的，是借助狭义图灵算器的机制……而第二个部分，图灵真人称之为‘万法万象式’。它是根据不完备定理而构造出的，一个完备而不一致的算法。” 这也是王崎和图灵真人商量好的部分。 狭义图灵算器和万法万象式——也就是图灵机和λ算法，和不完备定理证明后半段的第二阶段一样，有着超越这个证明本身的潜力。它们在后世，各自发展出了枝繁叶茂的道路。 图灵真人也很高兴，自己那个不大看得上的定理能够被传扬。王崎也需要一些逍遥修士表示支持，让自己显得不是那么势单力薄，好让更多的算家能够追随自己，开创算学的新天地。 二人可以说是一拍即合。 不可判定定理的证明过程，和那不完备相比，显得要好处理很多。尤其是第一个部分，图灵机证明。这个故事，几乎就是和王崎之前讲述的“傀儡审官”，还有蜃戏一脉相承的。 不少不属于万法门的修士，尤其是那些以“文艺”、“小说家言”为修持之法的小门派，都听得津津有味。他们听不懂王崎的理论，理解不了王崎理论背后的数学意义。但是，他们能听懂故事！他们的脑海当中几乎浮现出了无穷的故事。 可以预见，在未来的一段时间里，“傀儡人”将成为说书人口中的热门题材。 而还没有崩溃的万法门弟子，对第二种方法显出了更大的兴趣。 薄笑风整个人都处在一种懵逼的状态。“完备但是自相矛盾的系统”？这种东西真的存在？这里面有什么算学意义吗？ 王崎的讲述，自午时始，自酉时而钟。当酉时的钟声在神州大地敲响的时候，这次讲道，也进入了末尾。 “综上所述，我们可以做出这样的证明……”王崎深吸一口气，讲出了最后的两句话。 “我想，我们可以自豪的宣布，希门二十三问当中最关键的第二问，第十问已经个圆满解决了。算理基础当中，最重要的一致性、完备性、可判定性证明，也已经完成。” “算学，便要进入一个新的时代了。” 无人鼓掌。 但是，所有人感觉——一场革故鼎新的变动，或许真的要来了……